Giả sử A {\displaystyle A} compact. Vì R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} là không gian Hausdorff nên A {\displaystyle A} đóng. Lấy một họ

{ B ( 0 , m ) | m ∈ Z + } {\displaystyle \left\{B(0,m)|m\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}}

các phủ mở của A {\displaystyle A} . Vì A {\displaystyle A} compact nên có phủ con hữu hạn. Do đó có M {\displaystyle M} sao cho A ⊂ B ( 0 , M ) {\displaystyle A\subset B(0,M)} . Nên, với hai điểm bất kỳ x {\displaystyle x} và y {\displaystyle y} của A {\displaystyle A} , ta có d ( x , y ) ≤ 2 M {\displaystyle d(x,y)\leq 2M} . Vậy A {\displaystyle A} bị chặn.

Ngược lại, nếu A {\displaystyle A} đóng và bị chặn, giả sử d ( x , y ) ≤ N {\displaystyle d(x,y)\leq N} với mọi x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in A} . Cố định một điểm x 0 {\displaystyle x_{0}} của A {\displaystyle A} , đặt d ( x 0 , 0 ) = b {\displaystyle d(x_{0},0)=b} . Khi đó, với mọi x ∈ A {\displaystyle x\in A} thì

d ( x , 0 ) ≤ d ( x , x 0 ) + d ( x 0 , 0 ) ≤ N + b {\displaystyle d(x,0)\leq d(x,x_{0})+d(x_{0},0)\leq N+b} .

Đặt P = N + b {\displaystyle P=N+b} , thì A {\displaystyle A} là tập con của [ − P , P ] n {\displaystyle [-P,P]^{n}} , là tập compact. Vì A {\displaystyle A} đóng nên A {\displaystyle A} cũng compact.